Question

（2013•山東）已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，體積為

9

4

，底面是邊長為

3

的正三角形，若P為底面A₁B₁C₁的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為（　　）

• A．

  5π

  12

• B．

  π

  3

• C．

  π

  4

• D．

  π

  6

Answer 1

分析：利用三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面垂直和線面角的定義可知，∠APA₁為PA與平面A₁B₁C₁所成角，即為∠APA₁為PA與平面ABC所成角．利用三棱錐的體積計算公式可得AA₁，再利用正三角形的性質可得A₁P，在Rt△AA₁P中，利用tan∠APA₁=

AA1

A1P

即可得出．

解答：解：如圖所示，
∵AA₁⊥底面A₁B₁C₁，∴∠APA₁為PA與平面A₁B₁C₁所成角，
∵平面ABC∥平面A₁B₁C₁，∴∠APA₁為PA與平面ABC所成角．
∵S△A1B1C1=

3

4

×(

3

)2=

3 3

4

．
∴V_{三棱柱ABC-A1B1C1}=AA1×S△A1B1C1=

3 3

4

AA1=

9

4

，解得AA1=

3

．
又P為底面正三角形A₁B₁C₁的中心，∴A1P=

2

3

A1D=

2

3

×

3

×sin60°=1，
在Rt△AA₁P中，tan∠APA1=

AA1

A1P

=

3

，
∴∠APA1=

π

3

．
故選B．

點評：熟練掌握三棱柱的性質、體積計算公式、正三角形的性質、線面角的定義是解題的關鍵．