Question

【題目】如圖，在三棱錐中， 是正三角形， ， .

(1)證明:平面平面；

(2) 為的中點(diǎn)， ，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由等腰三角形得， ，由線面垂直判定定理可得平面，故而，結(jié)合，故可得平面，由面面垂直判定定理可得結(jié)果；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，求出面的法向量，同時(shí)可取面的法向量，計(jì)算出向量夾角即可.

試題解析：（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?/span>，所以．又因?yàn)?/span>是正三角形，所以，所以平面.所以．又，故平面．因?yàn)?/span>平面，所以平面平面．

（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，由（1）可得平面. 建立如圖空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則， ， ，由為的中點(diǎn)，得.所以， .設(shè)為平面的法向量，則，可取，設(shè)為平面的法向量，可取.則，所以二面角的余弦值為.