Question

【題目】如圖，已知曲線，曲線， 是平面上一點，若存在過點的直線與都有公共點，則稱為“型點”.

（1）證明： 的左焦點是“型點”；

（2）設直線與有公共點，求證： ，進而證明原點不是“型點”；

（3）求證： 內的點都不是“型點”.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】試題分析：（1）由題意的左焦點為，過的直線與、交于，即可判定，得出直線方程；

（2）聯立方程組和，根據方程有解，即可求解的范圍，從而判斷原點不是“型點”；

（3）以為邊界的正方形區域記為，分點在的邊界上，和是區域內的點，兩種情況分類討論，進而說明，聯立方程組，得出，得出直線與曲線沒有公共點，從而證得結論.

試題解析：

（1）的左焦點為，

過的直線與交于，與交于，故的左焦點為“型點”，且直線可以為；

（2）直線與有交點，則，

若方程組有解，則必須；

直線與有交點，則，

若方程組有解，則必須

故直線至多與曲線和中的一條有交點，即原點不是“型點”

（3）以為邊界的正方形區域記為.

1）若點在的邊界上，則該邊所在直線與相切，與有公共部分，即邊界上的點都是“型點”；

2）設是區域內的點，即，

假設是“型點”，則存在過點的直線與都有公共點.

ⅰ)若直線與有公共點，直線的方程化為，假設，則，

可知直線在之間，與無公共點，這與“直線與有公共點”矛盾，所以得到：與有公共點的直線的斜率滿足.

ⅱ)假設與也有公共點，則方程組有實數解.

從方程組得，

，由，

因為

所以， ，即直線與沒有公共點，與“直線與有公共點”矛盾，于是可知不是“型點”.

證明完畢

另解：

令，因為，所以|，即.于是可知的圖像是開口向下的拋物線，且對稱軸方程為是，因為，

所以在區間上為增函數，在上為減函數.

因為， ，所以對任意，都有，即直線與沒有公共點，與“直線與有公共點”矛盾，于是可知不是“型點”.

證明完畢.