Question

8．設函數f（x）=$\frac{\sqrt{3}cosθ}{6}$x³+$\frac{sinθ}{4}$x²+$\frac{1}{tanθ}$，其中θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），則導數f′（1）的取值范圍是（　　）

• A． （-$\frac{1}{2}$，1]
• B． （-$\frac{1}{2}$，1）
• C． （-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
• D． （-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 求導，當x=1時，f′（1）=$\frac{\sqrt{3}cosθ}{2}$+$\frac{sinθ}{2}$=sin（θ+$\frac{π}{3}$），由θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），即可求得θ+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），根據正弦函數的性質，即可求得導數f′（1）的取值范圍．

解答 解：f（x）=$\frac{\sqrt{3}cosθ}{6}$x³+$\frac{sinθ}{4}$x²+$\frac{1}{tanθ}$，f′（x）=$\frac{\sqrt{3}cosθ}{2}$x²+$\frac{sinθ}{2}$x，
f′（1）=$\frac{\sqrt{3}cosθ}{2}$+$\frac{sinθ}{2}$=sin（θ+$\frac{π}{3}$），
由θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），則θ+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
則sin（θ+$\frac{π}{3}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
∴導數f′（1）的取值范圍（-$\frac{1}{2}$，1]，
故選A．

點評 本題考查導數的運算，考查輔助角公式的應用，正弦函數的性質，考查計算能力，屬于中檔題．