Question

18．如圖，已知正四棱柱（底面為正方形，側棱與底面垂直）ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為3，側棱長為4，連結A₁B，過A作AF⊥A₁B垂足為F，且AF的延長線交B₁B于E．
（Ⅰ）求證：AE⊥D₁B；
（Ⅱ）求三棱錐B-AEC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出A₁D₁⊥AE，AE⊥A₁B，從而AE⊥平面A₁D₁B，由此能證明AE⊥D₁B．
（Ⅱ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，三棱錐B-AEC的體積V_B-AEC=V_E-ABC，由此能求出結果．

解答 證明：（Ⅰ）∵正四棱柱（底面為正方形，側棱與底面垂直）
ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D₁⊥平面ABB₁A₁，
AE?平面ABB₁A₁，
∴A₁D₁⊥AE，
∵過A作AF⊥A₁B垂足為F，且AF的延長線交B₁B于E，∴AE⊥A₁B，
∵A₁D₁∩A₁B=A₁，∴AE⊥平面A₁D₁B，
∵D₁B?平面A₁D₁B，∴AE⊥D₁B．
解：（Ⅱ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，
DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（3，0，0），B（3，3，0），A₁（3，0，4），
設E（3，3，t），
$\overrightarrow{AE}$=（0，3，t），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，3，-4），
∵AE⊥A₁B，∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{A}_{1}B}$=9-4t=0，解得t=$\frac{9}{4}$，
∴BE=$\frac{9}{4}$，
∴三棱錐B-AEC的體積：
V_B-AEC=V_E-ABC=$\frac{1}{3}×BE×{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{3}×BE×（\frac{1}{2}×AB×BC）$
=$\frac{1}{3}×\frac{9}{4}×\frac{1}{2}×3×3$=$\frac{27}{8}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．