Question

已知橢圓
（1）求橢圓C的標準方程。
（2）過點Q（0，）的直線與橢圓交于A、B兩點，與直線y=2交于點M（直線AB不經過P點），記PA、PB、PM的斜率分別為k₁、k₂、k₃，問：是否存在常數，使得若存在，求出名的值：若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在，.

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程及性質、直線與橢圓的位置關系等數學知識，考查學生的分析問題解決問題的能力和計算能力.第一問，利用橢圓的離心率和橢圓過定點，得出a、b的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，過點Q的直線斜率分2種情況，當直線AB的斜率不存在時，可以求出符合題意的，當直線AB的斜率存在時，設出點A、B以及直線AB，讓直線與橢圓方程聯立，得到關于x的方程，得出，，利用斜率公式得出，代入到中，經過整理，得出的值.
試題解析：⑴            4分
⑵當直線AB斜率不存在時，有 5分
當直線AB斜率k存在時,由已知有k≠0,設，
設直線AB: 則    6分
得       7分

   10分
而       12分
有   ， 存在常數 符合題意      13分