Question

已知曲線C上動點P(x，y)到定點F₁(，0)與定直線l₁∶x＝的距離之比為常數.
(1)求曲線C的軌跡方程；
(2)以曲線C的左頂點T為圓心作圓T：(x＋2)²＋y²＝r²(r>0)，設圓T與曲線C交于點M與點N，求·的最小值，并求此時圓T的方程．

Answer 1

（1）＋y²＝1（2）(x＋2)²＋y²＝

(1)過點P作直線的垂線，垂足為D.
，所以該曲線的方程為＋y²＝1.
(2)點M與點N關于x軸對稱，設M(x₁，y₁)，N(x₁，－y₁)，不妨設y₁>0.由于點M在橢圓C上，所以＝1－.由已知T(－2，0)，則＝(x₁＋2，y₁)，＝(x₁＋2，－y₁)，∴·＝(x₁＋2，y₁)·(x₁＋2，－y₁)＝(x₁＋2)²－＝(x₁＋2)²－＝＋4x₁＋3＝·－.由于－2<x₁<2，故當x₁＝－時，·取得最小值為－.計算得，y₁＝，故M.
又點M在圓T上，代入圓的方程得到r²＝.故圓T的方程為(x＋2)²＋y²＝