Question

【題目】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足：
anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=λanan+1（λ≠0，n∈N ）
（1）若a1 ， a2 ， a3成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的值；
（2）若λ= ，求Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1，a2，a3成等比數(shù)列，可設(shè)公比為q，則a2=q，a3=q2．

∵anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=λanan+1（λ≠0，n∈N ），

∴當(dāng)n=1時(shí)，a1S2﹣a2S1+a1﹣a2=λa1a2，即（1+q）﹣q+1﹣q=λq，化為2﹣q=λq，

當(dāng)n=2時(shí)，a2S3﹣a3S2+a2﹣a3=λa2a3，化為：2﹣q=λq2，

聯(lián)立解得λ=q=1．

∴λ=1．

（2）解：λ= ，則anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1，

∵Sn+1=Sn+an+1，

∴（an﹣an+1）Sn+ +an﹣an+1=0．

化為Sn+ +1=0，

∵a1=1，令n=1，則1+ +1=0，解得a2= ，

同理可得a3= ．

猜想 ．

下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=1時(shí)，a1= =1，成立；

②假設(shè)當(dāng)n≤k（k∈N*）時(shí)成立， ，則Sk= = ．

∵Sk+ +1=0，

∴ + +1=0，

解得ak+1= ．

因此當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，

綜上可得：對(duì)于n∈N* 都成立．

由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得：Sn= ．

可得an+1= ，Sn= = ，Sn+1= ．

代入anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1，驗(yàn)證成立．

∴Sn= ．

【解析】（1）由于a1 ， a2 ， a3成等比數(shù)列，可設(shè)公比為q，則a2=q，a3=q2 ． 由anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=λanan+1（λ≠0，n∈N ），分別令n=1，2，即可得出．（2）λ= ，則anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1 ， 化為Sn+ +1=0，由a1=1，a2= ，a3= ．猜想 ．再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出．
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．