Question

【題目】已知橢圓 的長軸長是短軸長的兩倍，且過點(diǎn)C（2，1），點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求橢圓E的方程；
（2）點(diǎn)P在橢圓E上，直線CP和DP的斜率都存在且不為0，試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值？若是，求此定值；若不是，請說明理由：
（3）平行于CD的直線l交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，求△CMN面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2a=22b，∴a=2b．

設(shè)橢圓方程為 ．

橢圓E過點(diǎn)C（2，1），

代入橢圓方程得 ，解得 ，則 ，

所以所求橢圓E的方程為 ；

（2）解：依題意得D（﹣2，﹣1）在橢圓E上．

CP和DP的斜率KCP和KDP均存在．

設(shè)P（x，y），則 ， ，

①

又∵點(diǎn)P在橢圓E上，

∴ ，∴x2=8﹣4y2，代入①得，

．

所以CP和DP的斜率KCP和KDP之積為定值

（3）解：CD的斜率為 ，∵CD平行于直線l，∴設(shè)直線l的方程為 ．

由 ，

消去y，整理得x2+2tx+（2t2﹣4）=0．

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）．

由 ，得|MN|=

= ．

．

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)t2=4﹣t2時(shí)取等號，即t2=2時(shí)取等號

所以△MNC面積的最大值為2．

此時(shí)直線l的方程

【解析】（1）由橢圓長軸長是短軸長的兩倍設(shè)出橢圓的方程，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入橢圓方程可求解b，則橢圓的方程可求；（2）設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線CP和DP的斜率，由點(diǎn)P在橢圓上得到P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系式，代入斜率乘積的表達(dá)式整理可得直線CP和DP的斜率之積為定值；（3）由直線l平行于CD，設(shè)出直線l的斜截式方程，和橢圓方程聯(lián)立后求出弦MN的長度，由點(diǎn)到直線的距離公式求出C到MN的距離，代入面積公式后利用基本不等式求最大值，并求出使面積最大時(shí)的直線l的方程．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．