Question

【題目】已知橢圓以，為焦點，且離心率

（1）求橢圓的方程；

（2）過點斜率為的直線與橢圓有兩個不同交點、，求的范圍；

（3）設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為、，是否存在直線，滿足（2）中的條件且使得向量與垂直？如果存在，寫出的方程；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)答案見解析.

【解析】

（1）由題意可得c,根據離心率可求出,即可寫出方程（2）寫出直線方程，聯立方程組消元，通過判別式大于0求得k的取值范圍（3）利用向量的坐標，可計算與的數量積為0時，k不滿足,故不存在.

（1）設橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距長分別為、、

由題設知：

由，得，

則

∴橢圓的方程為

（2）過點斜率為的直線：

即：

與橢圓方程聯立消得…“*”

由與橢圓有兩個不同交點知

其得或

∴的范圍是

（3）設、，則、是“*”的二根

則，則

則

由題設知、，∴

若，須

得

∴不存在滿足題設條件的.