Question

已知函數f（x）=x³-x
（1）求曲線y=f（x）在點M（t，f（t））處的切線方程
（2）設a＞0，如果過點（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，證明：-a＜b＜f（a）

Answer 1

（1）求函數f（x）的導函數；f'（x）=3x²-1．
曲線y=f（x）在點M（t，f（t））處的切線方程為：y-f（t）=f'（t）（x-t），即y=（3t²-1）x-2t³；
（2）如果有一條切線過點（a，b），則存在t，使b=（3t²-1）a-2t³．
于是，若過點（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，則方程2t³-3at²+a+b=0有三個相異的實數根．
記g（t）=2t³-3at²+a+b，則g'（t）=6t²-6at=6t（t-a）．
當t變化時，g（t），g'（t）變化情況如下表：

由g（t）的單調性，當極大值a+b＜0或極小值b-f（a）＞0時，方程g（t）=0最多有一個實數根；
當a+b=0時，解方程g（t）=0得t=0，t=

3a

2

，即方程g（t）=0只有兩個相異的實數根；
當b-f（a）=0時，解方程g（t）=0得t=-

a

2

，t=a，即方程g（t）=0只有兩個相異的實數根．
綜上，如果過（a，b）可作曲線y=f（x）三條切線，即g（t）=0有三個相異的實數根，則

a+b＞0 b-f(a)＜0.

即-a＜b＜f（a）．