Question

設a∈R，f（x）=x³-x²-x+a，曲線y=f（x）與x軸有且只有一個公共點，實數a的取值范圍是______．

Answer 1

求一階導數可得f'（x）=3x²-2x-1，
兩個極值點分別在x=1、x=-

1

3

，
代入函數，得f（1）=a-1，f（-

1

3

）=a+

5

27

，
當a-1＞0時，f（1）＞0，得出a＞1，
當a+

5

27

＜0時，f（-

1

3

）＜0，得出a＜-

5

27

，
則曲線y=f（x）與x軸有且只有一個公共點，實數a的取值范圍為：(-∞，-

5

27

)∪(1，+∞)，
故答案為：(-∞，-

5

27

)∪(1，+∞)．