Question

【題目】對任意任意，不等式恒成立，則實數a的取值范圍是

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

將不等式﹣2cos2x≥asinx﹣恒成立轉化為≥asinx+2﹣2sin2x恒成立，構造函數f（y）=，利用基本不等式可求得f（y）min=3，于是問題轉化為asinx+2﹣2sin2x≤3恒成立．通過對sinx＞0、sinx=0分類討論求得實數a的取值范圍．

任意x∈[0，]，y∈（0，+∞），

不等式﹣2cos2x≥asinx﹣恒成立≥asinx+2﹣2sin2x恒成立，

令f（y）=，

則asinx+2﹣2sin2x≤f（y）min，

∵y＞0，∴f（y）=≥2=3（當且僅當y=6時取“=”），f（y）min=3．

∴asinx+2﹣2sin2x≤3，即asinx﹣2sin2x≤1恒成立．

∵x∈[0，]，∴sinx∈[0，]，

當sinx=0時，對于任意實數a，不等式asinx﹣2sin2x≤1恒成立；

當sinx＞0時，不等式asinx﹣2sin2x≤1化為a≤2sinx+恒成立，

令sinx=t，則0＜t≤，

再令g（t）=2t+（0＜t≤），則a≤g（t）min．

由于g′（t）=2﹣＜0，

∴g（t）=2t+在區間（0，]上單調遞減，

因此，g（t）min=g（）=3，

∴a≤3．

綜上，a≤3．

故選：A．