Question

【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)為1.記.

（1）若為常數(shù)列，求的值：

（2）若為公比為2的等比數(shù)列，求的解析式：

（3）是否存在等差數(shù)列，使得對(duì)一切都成立？若存在，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在等差數(shù)列滿足題意，

【解析】

(1)根據(jù)常數(shù)列代入其值得解；

(2)根據(jù)等比數(shù)列和用賦值法解決二項(xiàng)式展開式的相關(guān)問題求解；

(3)對(duì)于開放性的問題先假設(shè)存在等差數(shù)列，再推出是否有恒成立的結(jié)論存在，從而得結(jié)論.

解：（1）∵為常數(shù)列，∴.

∴

（2）∵為公比為2的等比數(shù)列，.

∴

∴

故.

（3）假設(shè)存在等差數(shù)列，使得對(duì)一切都成立，

設(shè)公差為，則

相加得

∴.

∴恒成立，

即恒成立，∴

故能為等差數(shù)列，使得對(duì)一切都成立，它的通項(xiàng)公式為