Question

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，點P是側棱C1C的中點．

（1）求證：AC1∥平面PBD；

（2）求證：BD⊥A1P．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）連接AC交BD于O點，連接OP，證出AC1∥OP，再由線面平行的判定定理即可證出.

（2）首先由線面垂直的判定定理證出BD⊥面AC1，再由線面垂直的定義即可證出.

（1）

連接AC交BD于O點，連接OP，

因為四邊形ABCD是正方形，對角線AC交BD于點O，

所以O點是AC的中點，所以AO=OC．

又因為點P是側棱C1C的中點，所以CP=PC1，

在△ACC1中，，所以AC1∥OP，

又因為OP面PBD，AC1面PBD，

所以AC1∥平面PBD．

（2）連接A1C1．因為ABCD–A1B1C1D1為直四棱柱，

所以側棱C1C垂直于底面ABCD，

又BD平面ABCD，所以CC1⊥BD，

因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

又AC∩CC1=C，AC面AC1，CC1面AC1，所以BD⊥面AC1，

又因為P∈CC1，CC1面ACC1A1，所以P∈面ACC1A1，

因為A1∈面ACC1A1，所以A1P面AC1，所以BD⊥A1P．