Question

【題目】三角形的勃勞卡德點是以法國軍官亨利·勃勞卡德（Henri.Brocard）命名的，他在1875年曾描述過這一事實，即：對任何一個三角形都存在唯一的角，即勃勞卡德角，使得圖中連接三個頂點的線相交于勃勞卡德點Q，如圖所示.

（1）研究發現：等腰直角三角形中，若是斜邊的等腰直角三角形，求線段的長度；

（2）若中，，，，求的值；

（3）若中，若線段，，的長度是1為首項，公比為q（）的等比數列，當時，求公比q的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由題意可得，，然后在中利用正弦定理可求出的長；

（2）在中由正弦定理求得，再利用求出，列出等式求出的值；

（3）由等比數列求出，，在和中由正弦定理得，，由此可得出，得到，再由正弦定理得，再對此式化簡得，然后在表示出的值代入化簡可得結果

（1）由題意可知，，，于是，

在中，由正弦定理得，

得.

（2）由題意可得，，

由已知，，，故，，

在中，有正弦定理得，

在中，

所以，解得.

（2）設的三邊a，b，c的對角分別為A，B，C.

由于線段，，的長度是1為首項，則，

在和中由正弦定理得，

所以，于是，且

所以，所以，所以

注意到，

在和中由正弦定理得①

②

①②得，即，且有（是已知的）

展開得

又等腰三角形中，，，代入得

，令，代入平方整理得

解得或（舍去），所以.