Question

【題目】如圖，橢圓的左、右焦點分別為，.已知點在橢圓上，且點M到兩焦點距離之和為4.

（1）求橢圓的方程；

（2）設與MO（O為坐標原點）垂直的直線交橢圓于A，B（A，B不重合），求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由M到兩焦點距離之和為4可得a，再將M代入方程可得b即可得到橢圓方程；

（2）由已知可設AB的方程為，，聯立橢圓方程得到根與系數的關系，以及m的范圍，將其代入中計算即可得到答案.

解：（1）∵橢圓的左、右焦點分別為，.

點在橢圓上，且點M到兩焦點距離之和為4，

∴，，∴橢圓方程為，

把點代入，得，解得，

∴橢圓的方程為.

（2）∵，

與MO（O為坐標原點）垂直的直線交橢圓于A，B（A，B不重合），

∴設AB的方程為，

聯立，消去y，得：，

，

解得，∴，

設，，則，，

∴

，

∴求的取值范圍是.

【點晴】

本題考查直線與橢圓的位置關系，涉及到向量的數量積的運算，考查學生數學運算能力，是一道中檔題.