Question

下列函數中，在（0，

π

2

）上有零點的函數是（　　）

• A．f（x）=sinx-x
• B．f（x）=sinx-

  2

  π

  x
• C．f（x）=sin²x-x
• D．f（x）=sin²x-

  2

  π

  x

Answer 1

分析：對選項中的函數分別進行求導，研究它們的極值和單調性進行分析，對于A：求導，由導數的符號知f（x）在（0，

π

2

）上單調遞減，且f（0）=0，故該函數在（0，

π

2

）上無零點，故錯；對于B：求導，令導數等于零，求出該函數的極值點x₁，分析函數的單調性f（x）在（0，x₁）上單調遞增，在（x1，

π

2

）上單調遞減，對于C：求導，由導數的符號知f（x）在（0，

π

2

）上單調遞減，且f（0）=0，故該函數在（0，

π

2

）上無零點，故錯；對于D：求導，求得函數的極值點，分析函數的單調性，可知該選項正確．

解答：解：對于A：f'（x）=cosx-1＜0，x∈（0，

π

2

）
∴f（x）在（0，

π

2

）上單調遞減，且f（0）=0，故該函數在（0，

π

2

）上無零點，故錯；
對于B：令f′（x）=cosx-

2

π

=0，得x₁=arccos

2

π

，
當0＜x＜x₁時，f′（x）＞0，當x1＜x＜

π

2

時，f′（x）＜0，
因此f（x）在（0，x₁）上單調遞增，在（x1，

π

2

）上單調遞減，
而f（0）=0，f（

π

2

）=0，故該函數在（0，

π

2

）上無零點，故錯；
對于C：f′（x）=2sinxcosx-1=sin2x-1≤0，x∈（0，

π

2

）
∴f（x）在（0，

π

2

）上單調遞減，且f（0）=0，故該函數在（0，

π

2

）上無零點，故錯；
對于D：令f′（x）=2sinxcosx-

2

π

=sin2x-

2

π

=0，得x₁=arcsin

2

π

，或x₂=π-arcsin

2

π

，
當0＜x＜x₁時，f′（x）＜0，當x₁＜x＜x₂時，f′（x）＞0，當x2＜x＜

π

2

時，f′（x）＜0，
因此f（x）在（0，x₁）上單調遞減，在（x₁，x₂）上單調遞增，在（x2，

π

2

）上單調遞減，
而f（0）=0，f（

π

2

）=0，故該函數在（0，

π

2

）上有零點，故正確；
故選D．

點評：此題是個中檔題．考查函數的零點的判定定理，和利用導數研究函數的單調性和極值問題，考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力和計算能力．