Question

對于項數為m的有窮數列數集{a_n}，記b_k=max{a₁，a₂，…，a_k}（k=1，2，…，m），即b_k為a₁，a₂，…，a_k中的最大值，并稱數列{b_n}是{a_n}的控制數列．如1，3，2，5，5的控制數列是1，3，3，5，5．
（1）若各項均為正整數的數列{a_n}的控制數列為2，3，4，5，5，寫出所有的{a_n}；
（2）設{b_n}是{a_n}的控制數列，滿足a_k+b_m-k+1=C（C為常數，k=1，2，…，m）．求證：b_k=a_k（k=1，2，…，m）．

Answer 1

分析：（1）根據控制數列的定義，進行列舉即可得到數列{a_n}；
（2）依題意可得b_k+1≥b_k，根據a_k+b_m-k+1=C，a_k+1+b_m-k=C，證明a_k+1-a_k=b_m-k+1-b_m-k≥0，即證得結論．

解答：（1）解：數列{a_n}為：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4；2，3，4，5，5．
（2）證明：因為b_k=max{a₁，a₂，…，a_k}，b_k+1=max{a₁，a₂，…，a_k，a_k+1}，所以b_k+1≥b_k．
因為a_k+b_m-k+1=C，a_k+1+b_m-k=C，
所以a_k+1-a_k=b_m-k+1-b_m-k≥0，即a_k+1≥a_k．
因此，b_k=a_k．

點評：本題考查數列的應用，考查對抽象概念的理解與綜合應用的能力，屬于中檔題．