Question

對于項數為m的有窮數列數集，記（k=1,2,…,m），即為中的最大值，并稱數列是的控制數列.如1,3,2,5,5的控制數列是1,3,3,5,5.

    （1）若各項均為正整數的數列的控制數列為2,3,4,5,5，寫出所有的；（4分）

    （2）設是的控制數列，滿足（C為常數，k=1,2,…,m）.

求證：（k=1,2,…,m）；（6分）

    （3）設m=100，常數.若，是的控制數列，

求.

 

Answer 1

【答案】

（1）數列為：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；

  2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.（2）見解析；（3）.

【解析】（1）數列為：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；

                      2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.                        ……4分

    （2）因為，，

         所以.                                            ……6分

         因為，，

         所以，即.              ……8分

         因此，.                                          ……10分

    （3）對，；；

         ；.

         比較大小，可得.                             ……12分

     因為，所以，即；

                       ，即.

    又，

從而，，，.   ……15分

        因此

            =

            =

            ===.      ……18分