Question

（2012•上海）對于項數為m的有窮數列{a_n}，記b_k=max{a₁，a₂，…，a_k}（k=1，2，…，m），即b_k為a₁，a₂，…，a_k中的最大值，并稱數列{b_n}是{a_n}的控制數列，如1，3，2，5，5的控制數列是1，3，3，5，5．
（1）若各項均為正整數的數列{a_n}的控制數列為2，3，4，5，5，寫出所有的{a_n}．
（2）設{b_n}是{a_n}的控制數列，滿足a_k+b_m-k+1=C（C為常數，k=1，2，…，m），求證：b_k=a_k（k=1，2，…，m）．
（3）設m=100，常數a∈(

1

2

，1)，若an=an2-(-1)

n(n+1)

2

n，{b_n}是{a_n}的控制數列，求（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）．

Answer 1

分析：（1）根據題意，可得數列{a_n}為：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5；
（2）依題意可得b_k+1≥b_k，又a_k+b_m-k+1=C，a_k+1+b_m-k=C，從而可得a_k+1-a_k=b_m-k+1-b_m-k≥0，整理即證得結論；
（3）根據an=an2-(-1)

n(n+1)

2

n，可發現，a_4k-3=a（4k-3）²+（4k-3），a_4k-2=a（4k-2）²+（4k-2），a_4k-1=a（4k-1）²-（4k-1），a_4k=a（4k）²-4k，通過比較大小，可得a_4k-2＞a_4k-1，a_4k＞a_4k-2，而a_4k+1＞a_4k，a_4k-1-a_4k-2=（a-1）（8k-3），從而可求得（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）=（a₂-a₃）+（a₆-a₇）+…+（a₉₈-a₉₉）=

25

k=1

（a_4k-2-a_4k-1）=2525（1-a）．

解答：解：（1）數列{a_n}為：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5；…4分
（2）∵b_k=max{a₁，a₂，…，a_k}，b_k+1=max{a₁，a₂，…，a_k+1}，
∴b_k+1≥b_k…6分
∵a_k+b_m-k+1=C，a_k+1+b_m-k=C，
∴a_k+1-a_k=b_m-k+1-b_m-k≥0，即a_k+1≥a_k，…8分
∴b_k=a_k…10分
（3）對k=1，2，…25，
a_4k-3=a（4k-3）²+（4k-3），a_4k-2=a（4k-2）²+（4k-2），
a_4k-1=a（4k-1）²-（4k-1），a_4k=a（4k）²-4k，…12分
比較大小，可得a_4k-2＞a_4k-1，
∵

1

2

＜a＜1，
∴a_4k-1-a_4k-2=（a-1）（8k-3）＜0，即a_4k-2＞a_4k-1；
a_4k-a_4k-2=2（2a-1）（4k-1）＞0，即a_4k＞a_4k-2，
又a_4k+1＞a_4k，
從而b_4k-3=a_4k-3，b_4k-2=a_4k-2，b_4k-1=a_4k-2，b_4k=a_4k，…15分
∴（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）
=（a₂-a₃）+（a₆-a₇）+…+（a₉₈-a₉₉）
=

25

k=1

（a_4k-2-a_4k-1）
=（1-a）

25

k=1

（8k-3）
=2525（1-a）…18分

點評：本題考查數列的應用，著重考查分析，對抽象概念的理解與綜合應用的能力，對（3）觀察，分析尋找規律是難點，是難題．