Question

【題目】已知橢圓：的四個頂點圍成的四邊形的面積為，其離心率為

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓的右焦點作直線（軸除外）與橢圓交于不同的兩點，，在軸上是否存在定點，使為定值？若存在，求出定點坐標及定值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）由離心率及2ab＝4，結合a2＝b2+c2，解得a、b，即可求得橢圓C的方程；

（2）由題意可設直線l：x＝my，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算，將用m與x0表示，利用對應系數成比例，即可求得x0，代入得為定值；

（1）由得：所以橢圓方程為

（2）由于直線l過右焦點F（1，0），可設直線l方程為：x=my+1,代入橢圓方程并整理得：（4+3m2)x2-8x+4-12m2=0(或（4+3m2)y2+6my-9=0)

△=64-（4+3m2) (4-12m2)>0

設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是方程①的兩個解，

由韋達定理得：x1+x2=, x1x2= ，y1+y2=,y1y2

假設在x軸上存在定點P(x0,0)，使為定值，則：

(x1-x0)(x2-x0)+y1y2=x1x2+y1y2-x0(x1+x2)+x02=+-+x02

=

由題意，上式為定值，所以應有：

即：12x02-48=-15-24x0+12x02

解得：x0=,

此時