Question

設函數f(x)＝其中b>0，c∈R.當且僅當x＝－2時，函數f(x)取得最小值－2.
(1)求函數f(x)的表達式；
(2)若方程f(x)＝x＋a(a∈R)至少有兩個不相同的實數根，求a取值的集合．

Answer 1

（1）f(x)＝（2）

(1)∵當且僅當x＝－2時，函數f(x)取得最小值－2.
∴二次函數y＝x²＋bx＋c的對稱軸是x＝－＝－2.
且有f(－2)＝(－2)²－2b＋c＝－2，即2b－c＝6.
∴b＝4，c＝2.∴f(x)＝
(2)記方程①：2＝x＋a(x>0)，
方程②：x²＋4x＋2＝x＋a(x≤0)．
分別研究方程①和方程②的根的情況：
(ⅰ)方程①有且僅有一個實數根?a<2，方程①沒有實數根?a≥2.
(ⅱ)方程②有且僅有兩個不相同的實數根，即方程x²＋3x＋2－a＝0有兩個不相同的非正實數根．∴??－<a≤2；

方程②有且僅有一個實數根，即方程x²＋3x＋2－a＝0有且僅有一個非正實數根．
∴2－a<0或Δ＝0，即a>2或a＝－.
綜上可知，當方程f(x)＝x＋a(a∈R)有三個不相同的實數根時，－<a<2；
當方程f(x)＝x＋a(a∈R)有且僅有兩個不相同的實數根時，a＝－或a＝2.
∴符合題意的實數a取值的集合為