Question

已知．
（Ⅰ）判斷曲線在的切線能否與曲線相切？并說明理由；
（Ⅱ）若求的最大值；
（Ⅲ）若，求證：．

Answer 1

（1）曲線在的切線不能與曲線相切
（2）當(dāng)>，即時(shí)，．
當(dāng)，即時(shí)，=．
當(dāng)，即時(shí)，
（3）構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識里求解最值，證明不等式。

試題分析：解：（Ⅰ），則，，
∴曲線在的切線l的方程為．
若l與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，則．
由，得，∴，得，與矛盾．
∴曲線在的切線不能與曲線相切．
（Ⅱ），令得．
∴．
∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．
∴當(dāng)>，即時(shí)，．
當(dāng)，即時(shí)，=．
當(dāng)，即時(shí)，． 
（Ⅲ）由（Ⅱ）知=．
∵，∴=．
∴，得，∴且．
得，又，
∴．
點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判定函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的最值，屬于中檔題。