Question

已知A，B兩點在拋物線C：x²＝4y上，點M(0,4)滿足＝λ.
(1)求證：；
(2)設拋物線C過A、B兩點的切線交于點N.
(ⅰ)求證：點N在一條定直線上；    
(ⅱ)設4≤λ≤9，求直線MN在x軸上截距的取值范圍．

Answer 1

(1)證明：∵＝0，∴.
(2)(ⅰ)點N(，－4)，所以點N在定直線y＝－4上． (ⅱ) [－，－]∪[，]．

試題分析：設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
l_AB：y＝kx＋4與x²＝4y聯立得x²－4kx－16＝0，        
Δ＝(－4k)²－4(－16)＝16k²＋64>0，
x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－16，                             2分
(1)證明：∵＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋(kx₁＋4)(kx₂＋4)
＝(1＋k²)x₁x₂＋4k(x₁＋x₂)＋16
＝(1＋k²)(－16)＋4k(4k)＋16＝0
∴.                                          4分
(2)(ⅰ)證明：過點A的切線：
y＝x₁(x－x₁)＋y₁＝x₁x－x₁²，　　①
過點B的切線：y＝x₂x－x₂²，　　②                          6分
聯立①②得點N(，－4)，所以點N在定直線y＝－4上．     8分
(ⅱ)∵＝λ，
∴(x₁，y₁－4)＝λ(－x_2,4－y₂)，
聯立x₁＝－λx₂，x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－16，
可得k²＝＝λ＋－2,4≤λ≤9，                 11分
∴≤k²≤.
直線MN：y＝x＋4在x軸上的截距為k.
∴直線MN在x軸上截距的取值范圍是[－，－]∪[，]．       14分
點評：熟練掌握向量的坐標運算，靈活運用直線的特征是解決此類問題的關鍵，屬常考題型