Question

某車間為了制作某個零件，需從一塊扇形的鋼板余料（如圖1）中按照圖2的方式裁剪一塊矩形鋼板ABCD，其中頂點B、C在半徑ON上，頂點A在半徑OM上，頂點D在

NM

上，∠MON=

π

6

，ON=OM=1．設∠DON=θ，矩形ABCD的面積為S．
（Ⅰ）用含θ的式子表示DC、OB的長；
（Ⅱ）試將S表示為θ的函數；
（Ⅲ）求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）直接在三角形中利用三角函數可以表示DC、OB的長；
（2）S=BC×CD，由（1）可以求出相應函數；
（3）表達成θ的函數關系式，再利用導數方法研究函數的最大值，

解答：解：（1）在△ODC中DC=sinθ，在△OAB中，tan

π

6

=

AB

OB

，從而OB=

3

sinθ；
（2）在△ODC中OC=cosθ，從而S=BC×CD=cosθsinθ -

3

sin2θ（0＜θ＜

π

6

）
（3）由S/=-sin2θ+cos2θ-2

3

sinθcosθ=0得tan2θ=

3

3

，由0＜θ＜

π

6

，得θ=

π

12

，易得θ=

π

12

時，S的最大值為1-

3

2

．

點評：解決實際問題的關鍵在于建立數學模型和目標函數，把“問題情境”譯為數學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系抽象成數學問題，在數學領域尋找適當的方法解決，再返回到實際問題中加以說明．