Question

【題目】已知四棱錐P－ABCD的底面為等腰梯形, AB∥CD,AC⊥BD,垂足為H, PH是四棱錐的高,E為AD中點,設

1)證明：PE⊥BC；

2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】分析：（1）以H為原點，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角

坐標系，利用向量法能證明PE⊥BC；

（2）求出平面PEH的法向量和＝(1,0，－1)，利用向量法能求出直線PA與平面PEH所成角的正弦值．

詳解：以H為原點，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系如圖，則A(1,0,0)，B(0,1,0)，

(1)證明：設C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，則D(0，m,0)，E(，，0)．

可得＝(，，－n)，＝(m，－1,0)． 因為·＝－＋0＝0，

所以PE⊥BC.

(2)由已知條件可得m＝－，n＝1，

故C(－，0,0)，D(0，－，0)，E(，－，0)，

P(0，0,1)．設n＝(x，y，z)為平面PEH的法向量，

則即

因此可以取n＝(1，，0)．

由＝(1,0，－1)，可得|cos〈，n〉|＝，

所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為.