Question

11．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+2y≥3}\\{2x+y≤3}\end{array}\right.$，若y-x的最大值是a，則二項式（ax-$\frac{1}{x}$）⁶的展開式中的常數項為-540，（用數字作答）

Answer 1

分析 首先利用約束條件得到可行域，結合y-x的幾何意義求出其最大值，然后對二項式的通項求常數項．

解答 解：已知得到可行域如圖：設z=y-x變形為y=x+z，當此直線經過圖中B（0，3）時，
直線在y軸的截距最大，z最大，
所以z 的最大值為3，
所以a=3，二項式（3x-$\frac{1}{x}$）⁶的通項為${C}_{6}^{r}（3x）^{6-r}（-\frac{1}{x}）^{r}=（-1）^{r}{{3}^{6-r}C}_{6}^{r}{x}^{6-2r}$，
所以r=3時，展開式中的常數項為$-{3}^{3}{C}_{6}^{3}$=-540；
故答案為：-540

點評 本題考查了簡單線性規劃問題與二項式定理的運用；關鍵是利用數形結合正確求出a，然后由二項展開式通項求常數項．