Question

（2012•西城區一模）如圖，拋物線y=-x²+9與x軸交于兩點A，B，點C，D在拋物線上（點C在第一象限），CD∥AB．記|CD|=2x，梯形ABCD面積為S．
（Ⅰ）求面積S以x為自變量的函數式；
（Ⅱ）若

|CD|

|AB|

≤k，其中k為常數，且0＜k＜1，求S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，確定點C的縱坐標、點B的橫坐標，從而利用梯形的面積公式，即可求得S關于x的函數式；
（Ⅱ）先確定函數關系式，再求導數，利用分類討論的數學思想，確定函數的單調性，從而可求S的最大值．

解答：解：（Ⅰ）依題意，點C的橫坐標為x，點C的縱坐標為yC=-x2+9．…（1分）
點B的橫坐標x_B滿足方程-

x

2 B

+9=0，解得x_B=3，舍去x_B=-3． …（2分）
所以S=

1

2

(|CD|+|AB|)•yC=

1

2

(2x+2×3)(-x2+9)=(x+3)(-x2+9)．…（4分）
由點C在第一象限，得0＜x＜3．
所以S關于x的函數式為 S=（x+3）（-x²+9），0＜x＜3．…（5分）
（Ⅱ）由 

0＜x＜3 x 3 ≤k

及0＜k＜1，得0＜x≤3k．  …（6分）
記f（x）=（x+3）（-x²+9），0＜x≤3k，
則f'（x）=-3x²-6x+9=-3（x-1）（x+3）．  …（8分）
令f'（x）=0，得x=1．      …（9分）
①若1＜3k，即

1

3

＜k＜1時，f'（x）與f（x）的變化情況如下：

x	（0，1）	1	（1，3k）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

所以，當x=1時，f（x）取得最大值，且最大值為f（1）=32．…（11分）
②若1≥3k，即0＜k≤

1

3

時，f'（x）＞0恒成立，
所以，f（x）的最大值為f（3k）=27（1+k）（1-k²）．         …（13分）
綜上，

1

3

≤k＜1時，S的最大值為32；0＜k＜

1

3

時，S的最大值為27（1+k）（1-k²）．

點評：本題考查函數模型的構建，考查利用導數知識解決最大值問題，考查分類討論的數學思想，正確分類是關鍵．