Question

在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程為

x=-3t+2 y=4t

（t為參數），P為C₁上的動點，Q為線段OP的中點．
①求點Q的軌跡C₂的方程；
②在以O為極點，x軸的正半軸為極軸（兩坐標系取相同的長度單位）的極坐標系中，N為曲線p=2sinθ上的動點，M為C₂與x軸的交點，求|MN|的最大值．

Answer 1

考點：點的極坐標和直角坐標的互化,參數方程化成普通方程

專題：坐標系和參數方程

分析：①設點Q的坐標為（x，y），則由題意可得P（2x，2y），且

2x=-3t+2 2y=4t

，由此可得點Q的軌跡C₂的方程．
②由題意可得，點M（1，0），曲線p=2sinθ化為直角坐標方程，表示以A（0，1）為圓心、半徑為1的圓．
則|MN|的最大值即為|AM|+1．

解答： 解：①設點Q的坐標為（x，y），則由題意可得P（2x，2y），∴

2x=-3t+2 2y=4t

，
即

x=- 3 2 t+1 y=2t

 （t為參數）．
②由題意可得，點M（1，0），曲線p=2sinθ的直角坐標方程為 x²+（y-1）²=1，
表示以A（0，1）為圓心、半徑為1的圓．
由于|AM|=

2

，∴|MN|的最大值為1+

2

．

點評：本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，求點的軌跡方程，直線和圓的位置關系，屬于中檔題．