Question

函數f（x）的定義域為D，若存在閉區間[a，b]⊆D，使得滿足：f（x）在[a，b]上是單調函數且在[a，b]上的值域為[2a，2b]，則稱區間[a，b]為函數f（x）的“和諧區間”．下列函數中存在“和諧區間”的是

 

①f（x）=x³（x∈R）
②f（x）=

1

x

（x∈R，x≠0）
③f（x）=

4x

x2+1

（x∈R）
④f（x）=e^x（x∈R）
⑤f（x）=lg|x|+2（x∈R，x≠0）

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：新定義,函數的性質及應用

分析：根據“和諧區間”的定義只需逐個驗證函數是否滿足兩個條件即可．

解答： 解：對于①，易知f（x）x³在[a，b]上單調遞增，由題意設

a3=2a b3=2b

，解得當

a=- 2 b=0

或

a=0 b= 2

或

a=- 2 b= 2

時，滿足條件；
對于②f（x）在（0，+∞）上單調遞減，取區間[a，b]⊆（0，+∞），由題意設

1 a =2b 1 b =2a

，所以只需ab=

1

2

即可，滿足條件；
對于③，f（x）在[-1，1]上單調遞增，取區間[a，b]⊆[-1，1]，由題意設

4a a2+1 =2a 4b b2+1 =2b

，解得當

a=-1 b=0

或

a=0 b=1

或

a=-1 b=1

時，滿足條件；
對于④，易知f（x）=e^x遞增，由題意設

ea=2a eb=2b

，即a，b是方程e^x=2x的兩個根，由于兩函數

y=ex y=2x

沒有交點，故對應方程無解，所以不滿足條件；
對于⑤f（x）在（0，+∞）上單調遞增，取區間[a，b]⊆（0，+∞），由題意設

lga+2=2a lgb+2=2b

，即a，b是方程lgx+2=2x的兩個根，由于兩函數

y=lgx+2 y=2x

有兩個交點，故對應方程有兩個根，即存在a，b滿足條件．所以存在“和諧區間”的是①②③⑤．
故答案為：①②③⑤．

點評：本題考查函數的單調性、函數的值域求解，考查函數與方程思想，考查學生的閱讀理解能力及解決新問題的能力．