Question

設f（x）=x-ae^x（a∈R），x∈R，已知函數y=f（x）有兩個零點x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）證明：

x2

x1

隨著a的減小而增大；
（Ⅲ）證明x₁+x₂隨著a的減小而增大．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數零點的判定定理

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）對f（x）求導，討論f′（x）的正負以及對應f（x）的單調性，得出函數y=f（x）有兩個零點的等價條件，從而求出a的取值范圍；
（Ⅱ）由f（x）=0，得a=

x

ex

，設g（x）=

x

ex

，判定g（x）的單調性即得證；
（Ⅲ）由于x₁=aex1，x₂=aex2，則x₂-x₁=lnx₂-lnx₁=ln

x2

x1

，令

x2

x1

=t，整理得到x₁+x₂=

(t+1)lnt

t-1

，令h（x）=

(x+1)lnx

x-1

，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函數，故得到x₁+x₂隨著t的減小而增大．再由（Ⅱ）知，t隨著a的減小而增大，即得證．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x-ae^x，∴f′（x）=1-ae^x；
下面分兩種情況討論：
①a≤0時，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函數，不合題意；
②a＞0時，由f′（x）=0，得x=-lna，當x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-lna）	-lna	（-lna，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	遞增	極大值-lna-1	遞減

∴f（x）的單調增區間是（-∞，-lna），減區間是（-lna，+∞）；
∴函數y=f（x）有兩個零點等價于如下條件同時成立：
①f（-lna）＞0；②存在s₁∈（-∞，-lna），滿足f（s₁）＜0；③存在s₂∈（-lna，+∞），滿足f（s₂）＜0；
由f（-lna）＞0，即-lna-1＞0，解得0＜a＜e^-1；
取s₁=0，滿足s₁∈（-∞，-lna），且f（s₁）=-a＜0，
取s₂=

2

a

+ln

2

a

，滿足s₂∈（-lna，+∞），且f（s₂）=（

2

a

-e

2

a

）+（ln

2

a

-e

2

a

）＜0；
∴a的取值范圍是（0，e^-1）．

（Ⅱ）證明：由f（x）=x-ae^x=0，得a=

x

ex

，設g（x）=

x

ex

，由g′（x）=

1-x

ex

，得g（x）在（-∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
并且，當x∈（-∞，0）時，g（x）≤0，當x∈（0，+∞）時，g（x）≥0，
x₁、x₂滿足a=g（x₁），a=g（x₂），a∈（0，e^-1）及g（x）的單調性，可得x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）；
對于任意的a₁、a₂∈（0，e^-1），設a₁＞a₂，g（X₁）=g（X₂）=a₁，其中0＜X₁＜1＜X₂；
g（Y₁）=g（Y₂）=a₂，其中0＜Y₁＜1＜Y₂；
∵g（x）在（0，1）上是增函數，∴由a₁＞a₂，得g（X_i）＞g（Y_i），可得X₁＞Y₁；類似可得X₂＜Y₂；
又由X、Y＞0，得

X2

X1

＜

Y2

X1

＜

Y2

Y1

；∴

x2

x1

隨著a的減小而增大；

（Ⅲ）證明：∵x₁=aex1，x₂=aex2，∴lnx₁=lna+x₁，lnx₂=lna+x₂；
∴x₂-x₁=lnx₂-lnx₁=ln

x2

x1

，設

x2

x1

=t，則t＞1，
∴

x2-x1=lnt x2=x1t

，解得x₁=

lnt

t-1

，x₂=

tlnt

t-1

，
∴x₁+x₂=

(t+1)lnt

t-1

…①；
令h（x）=

(x+1)lnx

x-1

，x∈（1，+∞），則h′（x）=

-2lnx+x- 1 x

(x-1)2

；
令u（x）=-2lnx+x-

1

x

，得u′（x）=(

x-1

x

)2，當x∈（1，+∞）時，u′（x）＞0，
∴u（x）在（1，+∞）上是增函數，∴對任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，
∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函數；
∴由①得x₁+x₂隨著t的增大而增大．
由（Ⅱ）知，t隨著a的減小而增大，
∴x₁+x₂隨著a的減小而增大．

點評：本題考查了導數的運算以及利用導數研究函數的單調性與極值問題，也考查了函數思想、化歸思想、抽象概括能力和分析問題、解決問題的能力，是綜合型題目．