Question

如圖：四棱錐中，,,．∥，．．

（Ⅰ）證明: 平面；
（Ⅱ）在線段上是否存在一點，使直線與平面成角正弦值等于，若存在，指出點位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：取線段中點，連結．
根據邊角關系及　得到，
因為，且，可得平面。
（Ⅱ）點是線段的中點．

試題分析：（Ⅰ）證明：取線段中點，連結．

因為，所以           1分
因為∥，所以，           2分
又因為，所以，而
所以．          4分
因為，所以　即
因為，且
所以平面          6分
（Ⅱ）解：以為坐標原點，以
所在直線分別為軸建立空間直角坐標系如圖所示：
則四點坐標分別為：
；；；       8分
設；平面的法向量．
因為點在線段上，所以假設，所以 
即，所以．        9分
又因為平面的法向量．
所以，所以
所以         10分
因為直線與平面成角正弦值等于，所以．
所以　即．所以點是線段的中點． 12分
點評：中檔題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟。（1）注意轉化成了平面幾何問題；（2）利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個基本思路。對計算能力要求較高。