Question

在正三角形中，、、分別是、、邊上的點，滿足（如圖1）.將△沿折起到的位置，使二面角成直二面角，連結、（如圖2）
    
（Ⅰ）求證：⊥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）取BE的中點D，連結DF∵AEEB=CFFA=12，∴AF=AD=2，而∠A=60⁰,∴△ADF是正三角形，AE=DE=1，∴EF⊥AD，在圖2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A₁EB為二面角A₁-EF-B的平面角．∴A₁E⊥BE∴A₁E⊥平面BEF，即A₁E⊥平面BEP（Ⅱ）

試題分析：不妨設正三角形ABC 的邊長為 3 .

(I)在圖1中，取BE的中點D，連結DF．
∵AEEB=CFFA=12，∴AF=AD=2，而∠A=60⁰,∴△ADF是正三角形，
又AE=DE=1，∴EF⊥AD．    2分
在圖2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A₁EB為二面角A₁-EF-B的平面角．
由題設條件知此二面角為直二面角，∴A₁E⊥BE．
又BE∩EF=E，∴A₁E⊥平面BEF，即A₁E⊥平面BEP．   .4分
(II)建立分別以ED、EF、EA為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標系，則E(0,0,0),A(0,0,1),
B(2,0,0),F(0, ,0), P (1, ,0),則,．
設平面ABP的法向量為，
由平面ABP知，，即
令，得，．
，設平面AFP的法向量為．
由平面AFP知，，即
令，得，．
,
所以二面角B-A₁P-F的余弦值是               13分
點評：證明線面垂直主要通過已知中的垂直的直線來推理，其重要注意翻折前后保持不變的量；第二問二面角的求解充分把握好從點E出發的三線兩兩垂直建立空間坐標系，通過兩面的法向量的夾角得到二面角