Question

(本小題滿分15分)

如圖已知在三棱柱ABC——A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分別是AA₁、BB₁、AB、B₁C₁的中點．

（1）求證：面PCC₁⊥面MNQ；

（2）求證：PC₁∥面MNQ；

（3）若求三棱錐

的體積.

 

 

 

 

 

 

Answer 1

 (本小題滿分15分)

如圖已知在三棱柱ABC——A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分別是AA₁、BB₁、AB、B₁C₁的中點．

（1）求證：面PCC₁⊥面MNQ；

（2）求證：PC₁∥面MNQ；

（3）若求三棱錐

的體積.

證明：（1）∵AC=BC， P是AB的中點，∴AB⊥PC，

∵AA₁⊥面ABC，CC₁∥AA₁，，∴CC₁⊥面ABC而AB在平面ABC內

∴CC₁⊥AB， ∵CC₁∩PC=C   ∴AB⊥面PCC₁；

又∵M、N分別是AA₁、BB₁的中點，四邊形AA₁B₁B是平行四邊形，MN∥AB，

∴MN⊥面PCC₁    ∵MN在平面MNQ內，∴面PCC₁⊥面MNQ；……… 5分

（2）連PB₁與MN相交于K，連KQ，∵MN∥PB，N為BB₁的中點，∴K為PB₁的中點．

又∵Q是C₁B₁的中點∴PC₁∥KQ ，而KQ平面MNQ，PC₁平面MNQ

∴PC₁∥面MNQ．                …………………………10分 

（3）為的中點，到平面的距離等于的一半，故，

所以.……………15分