Question

【題目】如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側面ADD1A1和側面CDD1C1都是矩形，BC∥AD，△ABD是邊長為2的正三角形，E，F分別為AD，A1D1的中點．
（Ⅰ）求證：DD1⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求證：平面A1BE⊥平面ADD1A1；
（Ⅲ）若CF∥平面A1BE，求棱BC的長度．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：因為側面ADD1A1和側面CDD1C1都是矩形，

所以DD1⊥AD，且DD1⊥CD．

因為AD∩CD=D，

所以DD1⊥平面ABCD．

（Ⅱ）證明：因為△ABD是正三角形，且E為AD中點，

所以BE⊥AD．

因為DD1⊥平面ABCD，

而BE平面ABCD，

所以BE⊥DD1．

因為AD∩DD1=D，

所以BE⊥平面ADD1A1．

因為BE平面A1BE，

所以平面A1BE⊥平面ADD1A1．

（Ⅲ）解：因為BC∥AD，F為A1D1的中點，

所以BC∥A1F．

所以B、C、F、A1四點共面．

因為CF∥平面A1BE，

而平面BCFA1∩平面A1BE=A1B，

所以CF∥A1B．

所以四邊形BCFA1是平行四邊形．

所以

【解析】（Ⅰ）證明DD1⊥AD，且DD1⊥CD，即可證明：DD1⊥平面ABCD；（Ⅱ）證明BE⊥平面ADD1A1．即可證明：平面A1BE⊥平面ADD1A1；（Ⅲ）證明四邊形BCFA1是平行四邊形，求棱BC的長度．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想即可以解答此題．