Question

【題目】已知兩定點(diǎn)， ，曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，直線與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為．

（Ⅰ）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，若，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意知|MF1|+|MF2|=2|F1F2|=8＞4，所以曲線C是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓．由此可知曲線C的方程；（Ⅱ）設(shè)M（xM，yM），P（xP，yP），直線MN方程為y=k（x+4），其中k≠0．由得（3+4k2）y2-24ky=0，由此利用韋達(dá)定理、橢圓性質(zhì)，結(jié)合已知條件，所以，則，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系求出點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓即可.

試題解析：

（Ⅰ）∵， ，

∴，

∵，

∴曲線是以， 為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓．

曲線的方程為．

（Ⅱ）由題意知直線不垂直于軸，也不與軸重合或平行．

設(shè)， ，直線方程為，其中．

由，得．

解得或．

依題意， ．

因?yàn)?/span>，

所以，則．

于是，所以，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以．

整理得，

解得或（舍去），

從而．

所以直線的方程為．