Question

已知（

x

-

2

x2

）ⁿ（n∈N^*）的展開式中第五項的系數與第三項的系數的比是10：1．
（1）證明：展開式中沒有常數項；
（2）求展開式中二項式系數最大的項；
（3）求展開式中有多少項有理項？（不必一一列出）

Answer 1

考點：二項式系數的性質

專題：二項式定理

分析：（1）根據展開式中第五項的系數與第三項的系數的比是10：1，求得n=8，在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數等于0，求出5r=8，且r∈Z，這是不可能的，命題得證．
（2）由二項式系數的性質可得，展開式中的二項式系數最大的項為T₅，再根據通項公式求得結果．
（3）若T_r+1為有理項，當且僅當

8-5r

2

為整數，而0≤r≤8，可得r的值，從而得出結論．

解答： 解：（1）由題意可得，第五項系數為C_n⁴•（-2）⁴，第三項的系數為C_n²•（-2）²，
則

Cn4•(-2)4

Cn2(-2)2

=

10

1

，解得n=8（n=-3舍去）．
故通項公式T_r+1=C₈^r（

x

）^8-r•（-

2

x2

）^r =C₈^r（-2）^r•x

8-5r

2

．
若T_r+1為常數項，當且僅當

8-5r

2

=0，即5r=8，且r∈Z，這是不可能的，所以展開式中沒有常數項．
（2）展開式中的二項式系數最大的項為T₅=

C

4 8

•x^-6=1120x^-6．
（3）由T_r+1=C₈^r（-2）^r•x

8-5r

2

，若T_r+1為有理項，
當且僅當

8-5r

2

為整數，而0≤r≤8，故r=0，2，4，6，8，即展開式的有理項有5項．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，二項式系數的性質，屬于中檔題．