Question

【題目】在等差數列中，，．令，數列的前項和為.

（1）求數列的通項公式;

（2）求數列的前項和；

（3）是否存在正整數，（）,使得，，成等比數列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）根據等差數列的通項公式求得首項的值，則易求數列的通項公式；

（2）利用裂項法求得數列的通項公式，則易求得；

（3）假設存在正整數，使得成等比數列，結合等比數列的性質得到，從而求得符合條件的的值.

（1）設數列的公差為，由得,

解得，

（2），

.

（3）由（2）知，，，，

假設存在正整數、 ，使得、、成等比數列，

則 ， 即 ,經化簡，得

, （*）

當時，（*）式可化為 ，所以

當時，

又，（*）式可化為 ，所以此時無正整數解.

綜上可知，存在滿足條件的正整數、，此時，.