Question

【題目】函數f（x）=（x2﹣3）ex ， 當m在R上變化時，設關于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣ =0的不同實數解的個數為n，則n的所有可能的值為（ ）
A.3
B.1或3
C.3或5
D.1或3或5

Answer 1

【答案】A
【解析】解：函數f（x）=（x2﹣3）ex的導數為f′（x）=（x+3）（x﹣1）ex ， 當x＞1或x＜﹣3時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當﹣3＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有f（x）在x=1處取得極小值﹣2e；在x=﹣3處取得極大值6e﹣3 ，
作出f（x）的圖象，如圖所示；
關于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣ =0，
由判別式為m2+ ＞0，方程有兩個不等實根，
令t=f（x），則t2﹣mt﹣ =0，t1t2=﹣ ＜0，
則原方程有一正一負實根．
當t＞6e﹣3 ， y=t和y=f（x）有一個交點，
當0＜t＜6e﹣3 ， y=t和y=f（x）有三個交點，
當﹣2e＜t＜0時，y=t和y=f（x）有兩個交點，
當t＜﹣2e時，y=t和y=f（x）沒有交點，
則x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣ =0的實根個數為3．
故選：A．