Question

【題目】設(shè)函數(shù)，

(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)， 時，求證： .

Answer 1

【答案】(1)增區(qū)間為： ， .減區(qū)間為， .(2) 見解析。

【解析】試題分析：（1）本問考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，首先確定函數(shù)的定義域為，對求導(dǎo)數(shù)，解得增區(qū)間，解得減區(qū)間；（2）本問考查利有導(dǎo)數(shù)證明不等式，當(dāng)時，只需證： ，即轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)時成立，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明在時恒成立即可，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題.

試題解析：(1)函數(shù)的定義域為，當(dāng)時， ，

令： ，得： 或，所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為： ， .

，得： ，所以函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為， .

(2)若證， 成立，只需證： ，

即： 當(dāng)時成立.

設(shè).

∴，顯然在內(nèi)是增函數(shù)，

且， ，

∴在內(nèi)有唯一零點，使得： ，

且當(dāng)， ；

當(dāng)， .

∴在遞減，在遞增.

，

∵，∴.

∴，∴成立.