Question

【題目】經濟學中，函數f（x）的邊際函數M（x）定義為M（x）=f（x+1）﹣f（x），利潤函數p（x）邊際利潤函數定義為M1（x）=p（x+1）﹣p（x），某公司最多生產 100 臺報系統裝置，生產x臺的收入函數為R（x）=3000x﹣20x2（單位：元），其成本函數為C（x）=500x+4000x（單位：元），利潤是收入與成本之差．
（1）求利潤函數p（x）及邊際利潤函數M1（x）；
（2）利潤函數p（x）與邊際利潤函數M1（x）是否具有相等的最大值？

Answer 1

【答案】
（1）解：P（x）=R（x）﹣C（x）=3000x﹣20x2﹣（500x+4000）

=﹣20x2+2500x﹣4000（1≤x≤100，x∈N*），

M1（x）=P（x+1）﹣P（x）=2480﹣40x．（1≤x≤100，x∈N*）

（2）解：∵P（x）=﹣20 +74125，

∴當x=62 或63 時，P（x）max=74120．

又∵M1（x） 是減函數，∴當 x=1 時，M1（x）max=2440．

故利潤函數p（x）與邊際利潤函數M1（x）不具有相等的最大值

【解析】（1）P（x）=R（x）﹣C（x），M1（x）=P（x+1）﹣P（x）．（1≤x≤100，x∈N*）．（2）由P（x）=﹣20 +74125，利用二次函數的單調性可得，P（x）max ． 利用一次函數的單調性可得M1（x）max ．