Question

（2012•惠州一模）定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下：對任意的

a

=（m，n），

b

=（p，q），令

a

⊙

b

=mq-np，下面說法錯誤的序號是（　　）
①若

a

與

b

共線，則

a

⊙

b

=0                     
②

a

⊙

b

=

b

⊙

a

③對任意的λ∈R，有（λ

a

）⊙

b

=λ（

a

⊙

b

）      
④(

a

⊙

b

)2+(

a

•

b

)2=|

a

|2|

b

|2．

A．②

B．①②

C．②④

D．③④

Answer 1

分析：利用新定義，可得：若

a

與

b

共線，則有

a

⊙

b

=mq-np=0；因為

b

⊙

a

=pn-qm，而

a

⊙

b

=mq-np，所以有

a

⊙

b

≠

b

⊙

a

；（λ

a

）⊙

b

=λmq-λnp=λ（mq-np）=λ（

a

⊙

b

）；(

a

⊙

b

)2+(

a

•

b

)2=（mq-np）²+（mp-nq）²=m²（q²+p²）+n²（p²+q²）=（m²+n²）（p²+q²）=|

a

|2|

b

|2．

解答：解：若

a

與

b

共線，則有

a

⊙

b

=mq-np=0，故①正確；
因為

b

⊙

a

=pn-qm，而

a

⊙

b

=mq-np，所以有

a

⊙

b

≠

b

⊙

a

，故選項②錯誤；
∵（λ

a

）⊙

b

=λmq-λnp=λ（mq-np）=λ（

a

⊙

b

），∴（λ

a

）⊙

b

=λ（

a

⊙

b

），故③正確；
(

a

⊙

b

)2+(

a

•

b

)2=（mq-np）²+（mp-nq）²=m²（q²+p²）+n²（p²+q²）=（m²+n²）（p²+q²）=|

a

|2|

b

|2，故④正確
故選A．

點評：本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．