Question

（2012•惠州一模）一動圓與圓O1：(x-1)2+y2=1外切，與圓O2：(x+1)2+y2=9內切．
（I）求動圓圓心M的軌跡L的方程．
（Ⅱ）設過圓心O₁的直線l：x=my+1與軌跡L相交于A、B兩點，請問△ABO₂（O₂為圓O₂的圓心）的內切圓N的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用動圓與圓O1：(x-1)2+y2=1外切，與圓O2：(x+1)2+y2=9內切，可得|MO₁|=R+1，|MO₂|=3-R，∴|MO₁|+|MO₂|=4，由橢圓定義知M在以O₁，O₂為焦點的橢圓上，從而可得動圓圓心M的軌跡L的方程；
（2）當S△ABO2最大時，r也最大，△ABO₂內切圓的面積也最大，表示出三角形的面積，利用換元法，結合導數，求得最值，即可求得結論．

解答：解：（1）設動圓圓心為M（x，y），半徑為R．
由題意，動圓與圓O1：(x-1)2+y2=1外切，與圓O2：(x+1)2+y2=9內切∴|MO₁|=R+1，|MO₂|=3-R，∴|MO₁|+|MO₂|=4．      （3分）
由橢圓定義知M在以O₁，O₂為焦點的橢圓上，且a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3．
∴動圓圓心M的軌跡L的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．  （6分）
（2）如圖，設△ABO₂內切圓N的半徑為r，與直線l的切點為C，則三角形△ABO₂的面積S△ABO2=

1

2

(|AB|+|AO2|+|BO2|)r=

1

2

[(|AO1|+|AO2|)+(|BO1|+|BO2|)]r=2ar=4r
當S△ABO2最大時，r也最大，△ABO₂內切圓的面積也最大，（7分）
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＜0），
則S△ABO2=

1

2

|O1O2|•|y1|+

1

2

|O1O2|•|y2|=y1-y2，（8分）
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
解得y1=

-3m+6 m2+1

3m2+4

，y2=

-3m-6 m2+1

3m2+4

，（10分）
∴S△ABO2=

12 m2+1

3m2+4

，令t=

m2+1

，則t≥1，且m²=t²-1，
有S△ABO2=

12t

3(t2-1)+4

=

12t

3t2+1

=

12

3t+ 1 t

，令f(t)=3t+

1

t

，則f′(t)=3-

1

t2

，
當t≥1時，f'（t）＞0，f（t）在[1，+∞）上單調遞增，有f（t）≥f（1）=4，S△ABO2≤

12

4

=3，
即當t=1，m=0時，4r有最大值3，得rmax=

3

4

，這時所求內切圓的面積為

9

16

π，
∴存在直線l：x=1，△ABO₂的內切圓M的面積最大值為

9

16

π．（14分）

點評：本題考查軌跡方程的求法，考查橢圓的定義，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是正確運用橢圓的定義，確定S△ABO2最大時，r也最大，△ABO₂內切圓的面積也最大