Question

【題目】如圖，四棱錐，底面是的菱形，側面是邊長為的正三角形，O是AD的中點， 為的中點．

（1）求證：；

（2）若PO與底面ABCD垂直，求直線與平面所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

試題分析：（I）取AD中點 O，連接OP，OC，AC，證明OC⊥AD，OP⊥AD．推出AD⊥平面POC，即可在，PC⊥AD．（II）證明PO⊥平面ABCD．說明PO為三棱錐P-ACD的高．求出△PAC的面積，設點D到平面 PAC的距離為h，由VD-PAC=VP-ACD，求出點D到平面PAC的距離，然后求解直線DM與平面PAC所成的角的正弦值

試題解析：（1）連接，，

由題意可知，均為正三角形．

所以，．

又，平面，平面，

所以平面，

又平面，

所以．

（2）又平面．即為三棱錐的高．

在中，，

在中，，，

邊上的高，

所以的面積．

設點到平面的距離為，由得，

，

又，

所以，解得．

故點到平面的距離為．

設直線與平面所成的角為

則，

所以直線與平面所成的角的正弦值為．