Question

如圖，已知橢圓C：

x2

4

+y²=1的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓上，且異于點A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點M、N，
（ⅰ）設直線AP、BP的斜率分別為k₁、k₂，求證：k₁•k₂為定值；
（ⅱ）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經過定點？請證明你的結論．

Answer 1

考點：橢圓的應用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（ⅰ）由橢圓方程求出兩個頂點A，B的坐標，設出P點坐標，寫出直線AP、BP的斜率k₁，k₂，結合P的坐標適合橢圓方程可證結論；
（ⅱ）設出以MN為直徑的圓上的動點Q的坐標，由

QM

 • 

QN

=0列式得到圓的方程，化為圓系方程后聯立方程組可求解圓所過定點的坐標．

解答： （ⅰ）證明：由題設橢圓C：：

x2

4

+y²=1可知，點A（0，1），B（0，-1）．
令P（x₀，y₀），則由題設可知x₀≠0．
∴直線AP的斜率k₁=

y0-1

x0

，PB的斜率為k₂=

y0+1

x0

．
又點P在橢圓上，∴

x02

4

+y₀²=1（x₀≠1）
從而有k₁•k₂=

y0-1

x0

•

y0+1

x0

=-

1

4

；
（ⅱ）解：以MN為直徑的圓恒過定點（0，-2+2

3

）或（0，-2-2

3

）．
事實上，設點Q（x，y）是以MN為直徑圓上的任意一點，則

QM

 • 

QN

=0，
故有(x+

3

k1

)(x+

1

k2

)+（y+2）（y+2）=0．
又k₁•k₂=-

1

4

∴以MN為直徑圓的方程為x²+（y+2）²-12+(

3

k1

-4k1)x=0．
令x=0，則（y+2）²=12，解得y=-2±2

3

．
∴以MN為直徑的圓恒過定點（0，-2+2

3

）或（0，-2-2

3

）．

點評：本題考查了直線的斜率，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了圓系方程，考查了學生的計算能力，是有一定難度題目．