Question

【題目】已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2x﹣ ．
（1）若f（x）= ，求x的值；
（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0對(duì)于t∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：f（x）=2x﹣ 定義在R上的函數(shù)，

∴

當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=0，無(wú)解

當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2x﹣ ，

由f（x）= ，即：2x﹣ = ，

化簡(jiǎn)：222x﹣32x﹣2=0

因式分解：（2x﹣2）（22x+2）=0

解得：解得2x=2或2x=﹣ ，

∵2x＞0，

故：x=1

（2）解：當(dāng)t∈[1，2]時(shí)，

f（2t）= ，f（t）=

那么： （ ）≥0

整理得：m（22t﹣1）≥﹣（24t﹣1）

∵22t﹣1＞0，∴m≥﹣（22t+1）恒成立即可．

∵t∈[1，2]，∴﹣（22t+1）∈[﹣17，﹣5]．

要使m≥﹣（22t+1）恒成立，只需m≥﹣5

故：m的取值范圍是[﹣5，+∞）

【解析】（1）化簡(jiǎn)f（x）去掉絕對(duì)值，直接進(jìn)行帶值計(jì)算即可．（2）求出f（2t），f（t）帶入，構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)對(duì)t∈[1，2]恒成立求解．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能正確解答此題．