Question

【題目】如圖，橢圓 過點，其左、右焦點分別為，離心率， 是橢圓右準線上的兩個動點，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）求的最小值；

（3）以為直徑的圓是否過定點？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）；（3）圓過定點，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）因為，且過點，列出關于的方程，解得，最后寫出橢圓方程即可；（2）設點寫出向量的坐標，利用向量的數量積得到，又，結合基本不等式即可求得最小值；（3）利用圓心的坐標和半徑得出圓的方程，再令，得從而得出圓過定點.

試題解析：（1） ，且過點，

解得 橢圓方程為.

（2）設點 則 ，

， 又，

的最小值為．

（3）圓心的坐標為，半徑.

圓的方程為，

整理得： .

，

令，得， . 圓過定點.