Question

【題目】設(shè)A、B是拋物線上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）求證：直線必與x軸交于一定點(diǎn)Q，并求出此定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)Q作直線的垂線與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2）88.

【解析】

（1）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立消得，，由韋達(dá)定理得，，根據(jù)，得，由此解方程即可得到本題答案；

（2）由弦長公式，得，，所以四邊形的面積，通過換元法，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得本題答案.

（1）證明：易知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為， ，，

由消得， ，

則，且 ，

由，得，

解得，或（舍去），

所以，可得，即直線的方程為，

所以直線恒過定點(diǎn) ；

（2）由（1）得， ，

同理， ，

因?yàn)?/span>，所以四邊形的面積

，

令（，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），

則，易知函數(shù)在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值88，故四邊形面積的最小值為88.