Question

【題目】在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cosB＝．

（Ⅰ）若c＝2a，求的值；

（Ⅱ）若C－B＝，求sinA的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由余弦定理結合；可得，再由正弦定理可得結果；（2）先由，根據二倍角公式可得，則，根據兩角差的正弦公式可得結果.

試題解析：（1）解法1

在△ABC中，因為cosB＝，所以＝．

因為c＝2a，所以＝，即＝，

所以＝．

又由正弦定理得＝，

所以＝．

解法2

因為cosB＝，B∈(0，)，所以sinB＝＝．

因為c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，

所以sinC＝2sin(B＋C)＝cosC＋sinC，

即－sinC＝2cosC．

又因為sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝，

所以＝．

（2）因為cosB＝，所以cos2B＝2cos2B－1＝．

又0＜B＜π，所以sinB＝＝，

所以sin2B＝2sinBcosB＝2××＝．

因為C－B＝，即C＝B＋，所以A＝π－(B＋C)＝－2B，

所以sinA＝sin(－2B)

＝sincos2B－cossin2B

＝×－(－)×

＝．